多次元Ornstein-Uhlenbeck過程の時間相関関数の導出メモ - 弘前で働くデータサイエンティスト（？）のブログ

はじめに

前回の記事「多次元Ornstein-Uhlenbeck過程の確率密度関数の導出メモ」に引き続き，この記事では状態変数 $\boldsymbol{x}(t)$ の時間相関関数を導出します．

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状態変数の時間相関関数

系の定義については，前回の記事を参照して下さい．状態変数 $\boldsymbol{x}(t)$ の時間相関関数 $C(s): \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n \times n}$ を以下のように定義します．
\begin{align}
C(s) = E[\boldsymbol{x}(t+s)\boldsymbol{x}(t)^{\top}]
\end{align}
但し，ここで期待値 $E[\cdot]$ は，定常状態 ( $t \to \infty$ とした場合) における期待値を意味します．このとき，この時間相関関数 $C(s)$ は以下のように書くことができます．
\begin{align}
C(s) &= - e^{sA} {\rm vec}^{-1}( (A \oplus A)^{-1} {\rm vec}(W) ) \quad & (s \ge 0) \tag{1} \\
C(s) &= - e^{-sA^{\top}} {\rm vec}^{-1}( (A \oplus A)^{-1} {\rm vec}(W) ) \quad & (s < 0) \tag{2}
\end{align}

式(1), (2)の導出

以下のようにモーメント方程式を導くことができます．
\begin{align}
\frac{d}{ds} C(s) = \frac{d}{ds} E[\boldsymbol{x}(t+s)\boldsymbol{x}(t)^{\top}] = AC(s)
\end{align}
したがって，初期条件 $C(0) = \lim_{t \to \infty} V(t) = - {\rm vec}^{-1}( (A \oplus A)^{-1} {\rm vec}(W) )$ の下でこの式を時間順方向に解くことにより，式(1)を得ることができます．また， $C(s)$ の定義より $C(s) = C(-s)^{\top}$ なので，式(2)を導くことができます．